从积分法的诞生到牛顿归纳出微积分学竟然经历了1800年！一文讲透

　　“微积分的基本定理”是微积分的重要知识。打比方来说，这 就相当于金枪鱼中珍贵的鱼腩部分。高中的教科书里一般都会涉及 这方面的内容，比如“微分和积分互为逆运算”等。

　　“微分和积分互为逆运算”这句话表述有些过于简洁，它具体的意思是什么呢？我非常希望大家能理解其本质。

　　（2）“球的体积”的微分就是“球的表面积”。这些表述有些让人摸不着头脑，果线）半径为r的圆的面积是

　　请观察图 95 中的大圆。圆的半径增加Δr时，哪里会增加呢？增加的部分是薄圆环。这个环状面积大致可以表示为：

　　在这里，出现了一个符号“约等于”（≈）。因为外侧圆的周长 稍微比内侧圆的周长大一些。虽说有必要使用约等于号，但是总会 让人觉得不严谨。如果可以的话，还是尽可能转化为等号。

　　（2）我们用和（1）相同的思路来思考 “球的体积”的微分 = “球的表面积”。

　　根据图 96 可知，体积增加的部分是球外侧很薄的那一部分皮。假设球为乒乓球，可以说增加的部分是用赛璐珞做成的部分（乒乓 球本身）。为了便于观察，图 96 中的球体增加了较为夸张的厚度。这层薄皮的体积大致为

　　与刚刚的“圆的面积”的微分是“圆的周长”同理，可知“球 的体积”的微分=“球的表面积”成立。

　　根据以上证明可知，本节开篇所讲（1）、（2）虽然让人觉得不 可思议，但确实都是成立的。

　　实际上，这个关系就是“微积分的基本定理”。但是这其实是从不同的角度 讲解了相同的内容。详细来说即为以下内容。

　　第一，我们可以认为“圆面积的微分”最终就是（在使Δr 趋向于 0 的极限情况下）把圆分割成薄圆环状。也就是说，粗略来讲 的话，微分就是从圆板上多个同心圆之间排列的薄圆环中，取出 1 个薄圆环。另一方面，积分则是累加极薄圆环的面积从而求出圆的 面积（图 97）。

　　)Δ r）等于圆的周长乘以Δr，累加所有圆环 面积就是圆的面积。所以圆的面积等于

　　第二，关于球的内容，累加“表面积×Δr ”，就能求出球整体 的体积。所以

　　即“分割”成较小部分的操作是微分，相反，“累加”较小部分的 操作是积分（图 98）。

　　真正理解了“微积分的基本定理”，就会觉得这东西并不复杂。但是，这个定理的厉害之处在于应用范围很广。虽然看起来很普 通，但是很实用。

　　根据微积分的基本定理可知，幂函数的微分公式的意思可以用 图 99 来表示。

　　实际上到目前为止，我们使用“积分”这个词时，意思是有 些不清晰的。比如说，在刚刚解释的幂函数中，微分

　　常数函数的斜率为 0，即对于任何 x 值函数的结果都 相同。设常数函数值为C，则可以写成

　　) 的微分进行积分得出的函数，叫作“f (x) 的原函数”， 写作F (x)，即原函数中始终存在“一项不定数值 C（不定项）”。在这里，“通过 积分求出原函数”，这叫作不定积分。相反，像之前提到求取面积 或者体积的积分，叫作定积分。不定积分和定积分不同，原则上不 写“从哪里到哪里的积分”。

　　多出的这个 C，就像多余的装饰品让人无法平静，不过可以不 用在意。因为在计算面积等问题时，C 就会消失。

　　下底）×高 ÷ 2 的 公式计算面积。图中的梯形往左边倾倒，上底的值为x =1时y的值， y =x=1。下底也一样，为x = 2时y的值，y =x= 2。高是2 −1=1，所以面积是另一方面，使用积分公式可得

　　下面，我们来看抛物线 是抛物线部分图像。计算从x =1 到x = 2 的面 积。这次的图无法再使用“梯形面积公式”，所以只能使用积分。

　　看，一瞬间就可以得出答案。没有积分似乎很难计算出来。不得不 说，积分真是太厉害了。

　　这里只是把x换成了r，是幂函数的积分公式的特殊情况（分别为β =1、β = 2）。

　　微积分的本质在于近似与忽略。近似指的是忽 略一些东西，只给出大概的答案。

　　即使是复杂的形状，也可以将其视为简单长方形的组合（积 分），函数在局部可以视为切线或者抛物线（微分），这个思考角度 才是微积分的要领。

　　重要的是不要在意细节。不在意细小的部分，“用直线段近似 函数图像”就可以搞清楚容积最大的冰激凌蛋卷筒是什么形状，也可以“把曲线看作折线的组合”来计算悬链线的长度。虽然整体计算很难，但分成较小的部分就会变成简单的累加。这就是微积分厉害之处。

　　实际上，这种思想并不仅限于微积分，可以说整个数学都是这样的。微积分则是了解该方法有效性的最好素材。

　　实际上，我们居住的现实世界中，近似可以说是无处不在。比如，不存在无限小的东西（无法比基本粒子更小），宇宙也并非无限广阔。

　　但是，在实际的微积分中，要考虑无限小的量，或者无限大的空间，这是近似。忽略基本粒子的大小，搁置宇宙的边界限制，这种想法或许与事实相悖，但是这种方法给我们带来的恩惠却不可估量。

　　微分积分的内容是从细致分割图形开始讲起的，之后又讲到自然常数e，最后又到悬链线的长度。读到这里，大家是不是已经自然而然地认可“近似和忽略”的思考方法呢？如果是的话，那么这就是很大的进步了。