上下求索之解码数学中著名的分形——曼德尔布罗特集合（上）

　　几十年来，一小群数学家耐心地解开了曾经是数学界最流行图景的谜团。他们的故事展示了技术如何改变最抽象的数学景观。

　　在1980 年代中期，就像随身听盒式磁带播放器和扎染衬衫一样，Mandelbrot集合（曼德尔布罗特集，又译芒德布罗集、曼德勃罗集、曼德博集，中文译法远未统一，以下简称曼集，zzllrr小乐译注）的虫子般的轮廓无处不在。

　　学生们把它贴在世界各地的宿舍墙上。数学家们收到了数百封信，急切地要求出版关于它的资料。（作为回应，他们中的一些人制作了目录，并附有价目表；另一些人则将其最引人注目的特点汇编成书。）更多精通技术的粉丝可以转向 1985 年 8 月的《科学美国人》。在它的封面上，曼集在火热的卷须中展开，它的边界燃烧着；里面有仔细的编程说明，详细说明了读者如何为自己生成标志性的图像。

　　到那时，这些卷须也已经远远超出了数学的范围，进入了日常生活中看似无关的角落。在接下来的几年里，曼集将激发大卫·霍克尼的最新画作和几位音乐家的最新作品——巴赫风格的赋格式作品。它出现在约翰·厄普代克（John Updike）的小说中，并指导文学评论家休·肯纳（Hugh Kenner）如何分析埃兹拉·庞德（Ezra Pound）的诗歌。它将成为迷幻幻觉的主题，以及科幻巨星亚瑟·克拉克（Arthur C. Clarke）讲述的一部流行纪录片的主题。

　　曼集是一种特殊的形状，具有分形轮廓。使用电脑放大集合的锯齿状边界，你会遇到海马峡谷、行进象群、螺旋星系和神经元状的细丝。无论你探索得多么深入，你总能看到原始集合的相似副本——一个无限的、令人眼花缭乱的自相似性的级联物。

　　这种自相似性是詹姆斯·格莱克（James Gleick）的畅销书《混沌》（Chaos）的核心元素，该书巩固了曼集在流行文化中的地位。“它拥有一个想法的宇宙，”格莱克写道。“一种现代艺术哲学，一种实验在数学中新作用的证明，一种将复杂系统呈现在大众面前的方式。”

　　曼集已经成为一个符号。它代表了对一种新的数学语言的需求，一种描述我们周围世界的分形本质的更好方式。它说明了最简单的规则可以产生深刻的复杂性——就像生活本身一样。（“因此，这是一个真正的希望信息，”约翰·哈伯德（John Hubbard）是最早研究这个集合的数学家之一，他在1989年的一段视频中说，“也许生物学真的可以像理解这些图片一样被理解。）在曼集中，秩序与混沌和谐相处；决定论和自由意志是可以调和的。一位数学家回忆说，他十几岁时偶然发现了这个场景，并把它看作是真理与谬误之间复杂界限的隐喻。

　　视频：在复动力系统领域工作的数学家正在耐心地解开曼集的奥秘，并且可能即将解决一个基本猜想，使他们能够完整地描述该集合。

　　在十年内，它似乎消失了。数学家转向其他学科，公众转向其他符号。今天，在它被发现仅仅40年后，分形已经成为一个陈词滥调的边缘性的刻奇（kitsch，意即媚俗）。

　　但少数数学家拒绝放过它。他们毕生致力于揭开曼集的秘密。现在，他们自认为终于处于真正理解它的边缘。

　　他们的故事是关于探索和实验的故事，也是关于技术如何塑造我们的思维方式，以及我们提出的关于世界的问题。

　　2023 年 10 月，来自世界各地的 20 名数学家聚集在曾经是丹麦军事研究基地的一栋矮砖建筑里。该基地建于 1800 年代后期，位于树林中间，隐藏在丹麦人口最多的岛屿西北海岸的峡湾上。一枚旧鱼雷守卫着入口。墙上挂着一些黑白照片，描绘了身穿制服的海军军官、在码头排队的船只以及正在进行的潜艇测试。在三天的时间里，当一阵猛烈的风将窗外的水吹成起泡的白帽时，这群数学家进行了一系列的座谈，其中大部分是由纽约石溪大学的两位数学家：米沙·柳比奇（Misha Lyubich）和迪玛·杜德科（Dima Dudko）进行的。

　　在研讨会的观众中，有一些最勇敢的曼集探险家。靠近前排的是京都大学的Mitsuhiro Shishikura（宍倉光広），他在 1990 年代证明了曼集的边界尽可能地复杂。几个座位后面坐着Hiroyuki Inou（ 稲生啓行），他与Shishikura一起开发了研究曼集里面一个特别引人注目的区域的重要技术。排在最后一排的是沃尔夫·荣格（Wolf Jung），他是Mandel（曼德尔，单词截取自Mandelbrot）的创造者，Mandel是数学家用于交互式研究曼集的首选软件。出席会议的还有图卢兹大学的阿诺·切里塔（Arnaud Chéritat）、罗斯基勒大学的卡斯滕·彼得森（Carsten Petersen，他组织了研讨会）以及其他几位对数学家理解曼集做出重大贡献的人。

　　数学家米沙·柳比奇（Misha Lyubich，右）和迪玛·杜德科（Dima Dudko，左）花了几十年时间探索曼集。

　　黑板前站着的是世界上最重要的专家柳比奇和他最亲密的合作者之一杜德科。他们与数学家杰里米·卡恩（Jeremy Kahn）和亚历克斯·卡皮安巴（Alex Kapiamba）一起，一直在努力证明关于曼集几何结构的长期猜想。这个猜想被称为MLC，是几十年来探索分形特征、驯服其缠结荒野的最后障碍。

　　印第安纳大学的卡罗琳·戴维斯（Caroline Davis）说，通过构建和完善一套强大的工具，数学家们已经控制了“曼集中几乎所有东西”的几何，除了少数剩余的案例。“米沙、迪玛、杰里米和亚历克斯就像赏金猎人，试图追踪这些最后的赏金猎物。”

　　柳比奇（Misha Lyubich）和 杜德科（Dima Dudko）在丹麦向其他数学家介绍了证明 MLC 的最新进展，以及他们为此开发的技术。在过去的 20年里，研究人员聚集在这里参加研讨会，致力于解开复分析领域的结果和方法，对用于生成曼集的数字和函数进行数学研究。

　　这是一个不寻常的组织方式：数学家们一起吃饭，喝着啤酒说笑到凌晨。当他们最终决定睡觉时，他们退到场地二楼的小房间里，躺在双层床或行军床上。（到达后，我们被告知要从一堆床上用品中拿出床单和枕套，然后带到楼上整理床铺。）在一些年份，与会者勇敢地在寒冷的水中游泳；更多时候，他们在树林里徘徊。但在大多数情况下，除了做数学之外，无所事事。

　　一位与会者告诉我，通常情况下，研讨会会吸引很多年轻的数学家。但这次情况并非如此——也许是因为当时是学期中期，或者，他推测，因为这个主题的难度非同小可。他承认，在那一刻，他对在这么多该领域的大师面前发表演讲的前景感到有点胆怯。

　　亚历克斯·卡皮安巴（Alex Kapiamba，左）和杰里米·卡恩（Jeremy Kahn，右）经常在卡恩后院的黑板上一起工作，他们试图控制曼集的几何。

　　但是，鉴于在更广泛的复分析领域中，大多数数学家不再直接研究曼集，为什么要专门讨论MLC呢？

　　曼集不仅仅是一个分形，不只是隐喻意义上的。它充当一种动力系统的主目录——动力系统（dynamical system），就是根据一个简单的规则，一个点可能在空间中移动的所有不同方式。要理解这个主目录，必须遍历许多不同的数学景观。曼集不仅与动力学密切相关，而且与数论、拓扑学、代数几何、群论甚至物理学都有着密切的联系。“它以一种美丽的方式与数学的其他部分互动，”印度塔塔基础研究所的萨比亚萨奇·慕克吉（Sabyasachi Mukherjee）说。

　　为了在MLC上取得进展，数学家们不得不开发一套复杂的技术——阿诺·切里塔（Arnaud Chéritat）称之为“一种强大的哲学”。这些工具引起了人们的广泛关注。今天，它们构成了研究更广泛的动力系统的核心支柱。事实证明，它们对于解决许多其他问题至关重要——这些问题与曼集无关。他们已经将MLC从一个小众问题转变为该领域最深刻和最重要的开放猜想之一。

　　柳比奇（Misha Lyubich），可以说是将这种“哲学”塑造成现在形式的尽最大责任的数学家，他站得笔直，说话很安静。当研讨会上的其他数学家走近他讨论一个概念或提出一个问题时，他会闭上眼睛，专心致志地听着，浓密的眉毛皱了起来。他用俄罗斯口音小心翼翼地回答。

　　但他也很快爆发出响亮、温暖的笑声，并开一些讽刺的玩笑。他慷慨地提供时间和建议。他“确实培养了好几代数学家，”慕克吉（Sabyasachi Mukherjee）说，他是柳比奇的前博士后之一，也是他经常合作的人。正如他所说，任何对复动力学研究感兴趣的人都会在石溪大学花一些时间向柳比奇学习。“米沙（柳比奇）对我们应该如何开展某个项目，或者下一步要看什么有这样的愿景，”慕克吉说。“他脑海中浮现出一幅宏伟的图景。他很乐意与人们分享这一点。”

　　1915年，在函数研究的最新进展的推动下，法国科学院宣布了一项竞赛：三年后，它将为迭代过程的工作提供3000法郎的大奖，这一过程后来产生了曼集。

　　迭代（iteration）是规则的重复应用。将数字插入函数，然后将输出用作下一个输入。继续这样做，并观察随着时间的推移会发生什么。随着你继续迭代函数，你获得的数字可能会迅速上升到无穷大。或者它们可能会被拉向一个特定的数字，就像铁屑向磁铁移动一样。或者最终在相同的两个数字、三个或一千个数字之间弹跳，在一个稳定的轨道上，它们永远无法逃脱。或者没有韵律或理由，沿着一条混乱、不可预测的路径，从一个数字跳到另一个数字。

　　在 1910 年代，法国数学家皮埃尔·法图（Pierre Fatou，左）和 加斯顿·朱利亚（Gaston Julia） 率先研究了迭代函数，后来产生了曼集。

　　左（法图）：家庭收藏。右（朱利亚）：德意志博物馆，慕尼黑，档案馆，PR 01671/01

　　法国科学院，以及更广泛的数学家，还有另一个理由对迭代感兴趣。这个过程在动力系统的研究中发挥了重要作用 —— 像行星围绕太阳的旋转或湍流的流动这样的系统，这些系统会根据一些特定的规则随着时间的推移而变化。

　　首先是皮埃尔·法图（Pierre Fatou），如果不是因为他的健康状况不佳，他在另一个生命中可能是一名海军军人（家族传统）。取而代之的是，他从事数学和天文学的职业，到 1915 年，他已经证明了分析方面的几项主要成果。然后是加斯顿·朱利亚（Gaston Julia），他是一位很有前途的年轻数学家，出生在法国占领的阿尔及利亚，他的学业因第一次世界大战和他被征召入伍而中断。22岁那年，在开始服役后不久就受了重伤——在医生无法修复损伤后，他的余生都会在脸上戴着一条皮带——他回到了数学界，在医院的病床上做了一些他将要为科学院奖提交的工作。

　　这个奖项激励了法图和朱利亚研究迭代函数时会发生什么。他们独立工作，但最终做出了非常相似的发现。他们的结果有如此多的重叠，以至于即使是现在，也并不是很清楚如何分配功劳。（朱利亚比较外向，因此受到更多的关注。他最终赢得了奖项；法图甚至没有申请。）由于这项工作，两人现在被认为是复动力学领域的创始人。

　　“复动力学”中的“复”（complex），是因为法图和朱利亚迭代了复数（complex number）的函数——将熟悉的实数与所谓的虚数（i 的倍数，数学家用来表示 −1 的平方根的符号）结合在一起的数字。虽然实数可以布置为直线上的点，但复数可以可视化为平面上的点，如下所示：

　　法图和朱利亚发现，即使是简单的复函数（在数学领域不是悖论！）也可能导致丰富而复杂的行为，这取决于你的起点。他们开始记录这些行为，并以几何方式表示它们。

　　但随后他们的工作在半个世纪内逐渐消失。“人们甚至不知道该寻找什么。他们甚至不知道要问什么问题，”苏黎世大学教授阿图尔·阿维拉（Artur Avila）说。

　　贝努瓦·曼德尔布罗特（Benoît Mandelbrot）如今因创造“分形”一词而闻名，他也研究了金融市场的行为和地质现象。

　　那时，数学家贝努瓦·曼德尔布罗特（Benoît Mandelbrot）已经获得了学术业余爱好者（academic dilettante）的声誉。他涉足了许多不同的领域，从经济学到天文学，同时在纽约市北部的IBM研究中心工作。当他在1974年被任命为IBM研究员时，他有更多的自由来从事独立项目。他决定利用该中心强大的计算能力，将复动力学从冬眠中解救出来。

　　起初，曼德尔布罗特使用计算机生成了法图和朱利亚研究过的各种形状。这些图像编码了关于起点一旦迭代时会逃逸到无穷大以及何时会被困在其他模式中的信息。法图和朱利亚60年前的画作看起来像是一簇簇的圆圈和三角形，但曼德尔布罗特制作的计算机生成的图像看起来像龙、蝴蝶、兔子和大教堂，还有花椰菜头，有时甚至是不连贯的尘埃云。到那时，曼德尔布罗特已经创造了“分形”（fractal）这个词，用于在不同尺度上看起来相似的形状；这个词唤起了一种新的几何学的概念——碎片化、分数化或破碎的东西。

　　出现在他的电脑屏幕上的图像——今天被称为朱利亚集——是曼德尔布罗特见过的最美丽、最复杂的分形例子。

　　Julia集是一个边界。一边是使函数无穷大的数字。另一边是函数保持有界的数。这个作用发生在复平面上所有的数都有两个分量：实部和虚部。这是f(z)=z⊃2; -1的Julia集。

　　3) 把这个新的数字重新插入公式中。然后重复这个过程，一遍又一遍地把结果插回去。对于这颗种子，其结果将朝着无限的方向生长。

　　4) 对于其他种子值，结果将不会接近无穷大。它们会被限制在一个小区域内。

　　5) Julia集是使函数增长到无穷大的种子值和使其保持有界的种子值之间的边界。

　　法图和朱利亚的工作主要集中在这些集合（及其相应的函数）的几何和动力学上。但计算机为曼德尔布罗特提供了一种同时思考整个函数族的方法。他可以将所有这些编码到以他的名字命名的图像中，尽管他是否真的是第一个发现它的人仍然是一个有争议的问题。

　　曼集处理最简单的方程，这些方程在迭代时仍然会做一些有趣的事情。这些是 f(z) = z⊃2; + c 形式的二次函数。固定c的一个取值 —— 可以是任何复数。如果你从 z = 0 开始迭代方程，发现你生成的数字仍然很小（即数学家所说的bounded有界），那么 c 在曼集中。另一方面，如果你迭代并发现最终你的数字开始向无穷大增长，那么 c 不在曼集中。

　　很明显，接近于零的c值属于曼集。同样，可直接证明c的大取值不属于曼集。但复数名副其实：集合的边界非常复杂。没有明显的理由将 c 更改为微小的量会导致你不断越过边界，但是当你放大它时，会出现无穷无尽的细节。

　　而且曼集就像朱利亚集的一幅地图，如下图所示。在曼集中选择一个值 c。相应的朱利亚集将被连接。但是，如果你离开曼集，那么相应的朱利亚集将是断开的灰尘。

　　在上面的曼集中选择一个点，相应的朱利亚集将出现在下方面板中。（一些朱利亚集与曼集相去甚远，太微弱而无法看到）。

　　1978年，数学家罗伯特·布鲁克斯（Robert Brooks）和彼得·马特尔斯基（J. Peter Matelski）在一篇论文中发表了第一张图，当时他们正在研究群论和双曲几何中一个看似无关的问题。

　　曼德尔布罗特（Mandelbrot）认可并推广了这个集合。在使用 IBM 的计算机绘制了数百个朱利亚集合后，他试图同时表示它们。1980年，他拥有比布鲁克斯和马特尔斯基更复杂的计算能力，最终生成了一个更好的曼集版本（尽管以今天的标准来看仍然很粗糙）。他立即爱上了它，并决定将分形尽可能地公开。正是出于这个原因，该集合以他的名字命名。（曼德尔布罗特本人在数学家中并不受欢迎，因为他习惯于从一个学科跳到另一个学科，而没有证明深刻的结果，而且他经常为曼集这样的发现而努力。）

　　这些计算机图像立即引起了一些最深刻的数学思想家的注意。“一旦我们真正看到发生了什么，每个人都变得非常感兴趣，”目前在布朗大学担任博士后的卡皮安巴（Alex Kapiamba）说。

　　Julia集显示出令人困惑的复杂性。复平面上的每一点c都产生一个。有些是由散落的灰尘构成的，有些则是由错综复杂的细丝连接而成的。

　　没有人预料到二次方程的世界会如此丰富。“这就像当你打开一个晶洞（geode），一块看起来很简单的石头，你会在里面找到所有这些晶体——这种惊人的复杂结构，”意大利帕尔马大学的安娜·贝尼尼（Anna Benini）说。

　　“数学家看到了他们以前没有想象过的东西，”阿维拉（Artur Avila）说。“如今，我们所有人都对这些探索有很大感激之情。”

　　在短短几年内，哈伯德（John Hubbard）和数学家阿德里安·杜阿迪（Adrien Douady）证明了关于曼集和它所代表的朱利亚集合的大量结果。但他们的证明是手写的，“主要是只有杜阿迪和我才能理解，”哈伯德写道。因此，在1983年，杜阿迪撰写并发表了一系列演讲来解释这些早期结果。之后，他将演讲中的材料汇编成一份文件，称为“奥赛笔记 Orsay notes”（Orsay是法国巴黎郊区，请勿与奥林匹克竞赛的缩写混淆，zzllrr小乐译注）。它近 200 页长，很快成为该领域的圣经。

　　在奥赛笔记中，杜阿迪和哈伯德证明了几个主要定理，这些定理是由他们所看到的计算机图像激发的。他们证明，曼集是相互连接（连通）的——你可以在不举起铅笔的情况下从集合中的任何一点画一条线到任何其他点。曼德尔布罗特最初怀疑情况恰恰相反：他拍摄的第一张照片看起来像一个大岛，周围有很多小岛漂浮在海面上。但后来，在看到更高分辨率的图片后——包括那些用颜色来说明集合外的方程式飞到无穷大的速度——曼德尔布罗特改变了他的猜测。很明显，这些小岛都是由非常细的卷须连接起来的。颜色的引入“是一件非常平凡的事情，但它很重要，”哥本哈根大学的索伦·艾勒斯（Søren Eilers）说。

　　杜阿迪对曼集的兴趣是有感染力的。他会在他的公寓里举办精心准备的餐宴、派对和音乐会，并且众所周知，他会赤脚走过他在法国任教的大学的走廊，并在公共场合大声唱歌。（他经常被误认为是街头艺人。）晚年，他从不读数学论文；相反，他邀请论文的作者来参观并直接向他解释这项工作。

　　“我会把他和文艺复兴时期的画家相提并论，他们身边有一群门徒，”杜阿迪的前博士生之一，图卢兹大学的数学家泽维尔·巴夫（Xavier Buff）说。“这非常令人兴奋。”

　　奥赛笔记的一个关键部分是一句谦虚的陈述，它很快成为关于曼集的最重要问题：MLC猜想。

　　MLC 认为 曼集不仅仅是相互连接的；而且是局部连接的——无论你如何放大曼集，它看起来总是像一个相连的部分。例如，一个圆是局部连接的。另一方面，极细齿的梳子则不是。虽然整个形状是相连的，但如果你跳过轴，而是放大它的一些齿尖，你只会看到一堆单独的线段。

　　尽管 MLC 是关于曼集几何的直截了当的陈述，但很快就以难以置信的难度而闻名。许多数学家对是否研究它犹豫不决。这似乎极其技术性和耗时——这是一个冒险的问题。不止一位数学家因此而离开了数学界。阿维拉（Artur Avila）积极引导他的学生远离 MLC 和相关研究领域，直到他们有时间学习取得进展所需的所有数学知识。“我引用《狮子王》的话说，看，有整个动态。你所能看到的只是你的地盘。但是有一个你不应该探索的黑暗角落……因为如果你探索这一部分，你就会被困住，永远无法脱身，“他说。“要进入这个领域，你需要学习的东西太多了。”

　　米沙·柳比奇（Misha Lyubich）于 1960 年代在乌克兰第二大城市哈尔科夫长大。斯大林已故；尼基塔·赫鲁晓夫短暂掌权，但很快被列昂尼德·勃列日涅夫取代。苏联经济蓬勃发展，但随着十年的流逝而停滞不前。与西方的紧张关系达到了历史最高水平。

　　柳比奇的父亲是哈尔科夫大学的数学教授，母亲是程序员；他记得在他年轻的时候，其他数学家来他家，数学总是弥漫在空气中，是一个经常谈论的话题。“我周围的生活都是数学，”他说。

　　柳比奇说，作为苏联的一个犹太人——“那里有国家政策试图消除犹太人积极参与各个领域”——他很难进入顶尖大学。他申请了莫斯科国立大学，但被拒绝了。尽管他是苏联著名的数学奥林匹克竞赛的尖子生和排名最高的参赛者之一，但他被告知他没有通过口试。考官拒绝告诉他哪里出了问题。

　　阿德里安·杜阿迪（Adrien Douady，左）和约翰·哈伯德（John Hubbard，右）是第一批证明曼集是相连的数学家。

　　他最终就读于哈尔科夫大学，这是一所以优异成绩录取犹太学生的顶尖本科院校之一。他的父亲教授的科目通常只能在莫斯科的大学里找到。（莫斯科是苏联数学进展的中心。）“这是我父亲当时提供的独特机会……以获得更广阔的数学视野，“柳比奇说。特别是，他的父亲鼓励他开始思考复动力学中的问题——这个领域在苏联根本没有得到关注。“当时，我们没有看到有人在这个领域工作，”柳比奇说。他很快就迷上了：正是在大学期间，他开始“基本上不停地”思考数学。

　　虽然他以全班第二名的成绩毕业，但他很难进入研究生课程。他最终来到了2000多英里外的乌兹别克斯坦塔什干国立大学，他的父亲在那里有同事。他继续研究复动力学，与杜阿迪和哈伯德在法国所做的工作隔绝且不知情。“我有点孤独，”他说。“那真是太寂寞了。”

　　大学生被要求在秋季从事农业劳动。“大学在10月和11月基本上就空了，”柳比奇说。于是，他发现自己在塔什干郊外的田地里采摘棉花——当时乌兹别克斯坦是苏联的主要棉花供应国。从日出到日落，在90度的高温下，他弯下腰，看着只有几英尺高的植物。不过，他认为自己很幸运。他说，本科生必须达到一个足够高的劳动量，“这需要技巧”，然后变成了“我不可能做”的艰苦工作。研究生不必这样做。

　　所以，“我只是在棉花田里走来走去，想着数学，”柳比奇说。特别是，他开始思考复二次方程的参数空间。

　　尽管西方已经出现了第一批计算机图像，但柳比奇无法获得它们。取而代之的是，曼集的基本特征在他的脑海中成形——分形的中心心形区域，称为主心形区域（main cardioid），以及沿着 x 轴将形状水平地一分为二的集合主干部分。“我只是在脑海中构建了一幅画面，并试图理解它，”他说。“我不知道这幅图中隐藏的问题有多深。”

　　1982年3月，当柳比奇还是一名研究生时，他那一代最杰出的美国数学家之一（当时是普林斯顿高等研究所IAS的教授）约翰·米尔诺 （John Milnor） 访问了莫斯科并发表了演讲。由于大学对柳比奇的时间安排很灵活，只要他完成考试和论文（以及采摘棉花的职责），他就经常去莫斯科参加研讨会，并与在那里工作的数学家会面。碰巧米尔诺来访时他也在那里。米尔诺说完后，他和柳比奇聊了一会儿。

　　1986 年在列宁格勒的柳比奇。多年来，他在业余时间从事数学工作，由于苏联的反犹太主义而无法找到学术工作。

　　由于语言障碍，他们要么把东西写下来，要么让柳比奇的一位同事帮忙翻译。柳比奇很清楚，相关工作正在铁幕的另一边进行。“这是我第一次在这个方向上接触西方数学，”他说。

　　回到家后，米尔诺传播了柳比奇的一些研究。“沟通很差，但我很幸运能遇到米尔诺，”柳比奇说。所以后来，杜阿迪给柳比奇寄了一份奥赛笔记的副本，柳比奇在那里第一次了解到MLC的问题。

　　不过，柳比奇再过几年后才真正开始考虑 MLC。他当时正在研究其他问题，在1984年完成博士学位后，他和他的妻子（也是一名数学家）搬到了列宁格勒（现在的圣彼得堡），在那里他再次被禁止从事学术工作，因为他是犹太人。在接下来的五年里，他担任高中教师，在他所谓的“准研究机构”（聚焦于医疗技术）担任程序员，最后在一家对北极和南极进行全面研究的科学机构担任建模师。随着每一份新工作，他能越来越接近专注于对动力系统的数学兴趣。

　　在那些年里，他一直在努力解决他的数学问题。他参加了研讨会，会见了其他数学家，并继续取得成果。“我从未停止过，”柳比奇说。“你看，如果你停下来，就很难恢复。你不应该停下来。”

　　它令人筋疲力尽。柳比奇回忆说，在教了一整天高中生后，他感到特别疲惫，然后强迫自己把剩下的时间花在数学上。“我很沮丧，因为我不能全身心地投入到数学中，而这正是我想做的，”他说。但“我自己决定，无论如何我都要学数学。”

　　“我很幸运，改革来了，我被允许离开，”他补充说。“我不知道我能坚持多久。”1989年，他和他的妻子获得了签证，允许他们以难民身份离开苏联。他们口袋里只有几百美元，先是去了维也纳，然后去了意大利，在那里他们申请移居美国。为等待他们的文书工作得到处理，他们在意大利的一个难民营呆了几个月——在此期间，柳比奇通过在当地大学做客座讲座赚取了额外收入——后来他和他的妻子终于到达了纽约。在那里，柳比奇有一份工作在等着他：米尔诺（柳比奇一直与他保持联系）邀请他在石溪大学创办的新数学科学研究所工作。

　　在意大利期间，柳比奇第一次接触到了电子邮件——正是在那里，他收到了一封来自杜阿迪的电子邮件。（杜阿迪是使用电子邮件进行数学讨论和协作的早期倡导者。)“他经常与遥远的合作者交流想法，这在80年代是一件新鲜事，”他以前的研究生之一皮埃尔·拉沃尔斯（Pierre Lavaurs）说。

　　这封电子邮件告诉柳比奇和该领域的其他数学家，让-克里斯托夫·约科兹（Jean-Christophe Yoccoz）已经证明了曼集中几乎所有点的局部连通性：MLC 对于不驻留在全集合的较小的自相似副本的无限嵌套中的 c 值是正确的。（约科兹后来被授予菲尔兹奖，这被认为是数学界的最高荣誉，部分原因是这项工作。）

　　法国数学家让-克里斯托夫·约科兹（Jean-Christophe Yoccoz）的开创性工作将MLC猜想（复动力学中最大的开放问题之一）与重整化（renormalization）的数学理论联系起来。

　　在电子邮件中，杜阿迪继续说，MLC 的完整解决方案指日可待。他不是唯一一个感到乐观的人。“有些人认为他们可以在短短几年内处理曼集的局部连通性，”伦敦帝国理工学院的达沃德·切拉吉（Davoud Cheraghi）说。

　　然而，几十年的工作仍在进行。MLC被证明是一个非常微妙的，几乎不可能完成的困难问题，只有少数数学家能够继续研究。这将需要来自数学界的工具，以及一种将永远改变复动力学领域的新理论的发展。