不定积分的求法-不定积分常用方法小结

　　橡胶滚轮组合垫小半圆头铆钉不定积分铣削本篇文章讲解不定积分的解法。首先要说明的一点是不定积分是一个无底洞，不管水平多高，总会有不会做的。本文不适合零基础阅读，需要有一定功底。另外，本文不涉及双元法求解不定积分,不涉及特殊函数积分。纯粹利用一些凑微分和各种技巧求解。题源主要来源于竞赛书籍和平时做题遇到的题目以及网上题目，另外还有一部分来自于

　　大佬的王者百题热身题及正文的一部分，特此感谢。文章会讲述多种方法，例题的选取可能不完全与此方法对应，一题也会有多种方法。 水平有限，如有错误，欢迎指出。

　　要求不定积分，首先就是要知道哪些积分的原函数不可用初等函数表示（积不出来），这些积分看似简单，但是却是不可积积分（原函数不能表达为初等函数），常见的有如下积分。

　　整理代入即得答案，有时候遇到整体根号，可以整体换元，如第一个换元。求 I1I_{1} 时，上下同时除 然后凑(cosx)2,然后凑d(tanx)(cosx)^{2},然后凑d(tanx) 是常用方法。

　　上面两题有些类似，用分部积分法即可求解，方法也不止以上两种,题目并不难，不多赘述。

　　此题和 8.28.2 形式有些类似,像 ∫esinxdx\int_{}^{}e^{sinx}dx 之类没有初等表达式的积分，可以利用分部积分法使之消去。对于含有不可积部分的积分，常用此方法。

　　对于分母为4次方多项式的不定积分，本例提供了思路， 凑d(ax+bx)d(ax+\frac{b}{x}) 即可求解。注意分子如何进行拆分，要根据分母的平方项去进行配凑。

　　值得一提的是，上面三道例题还有很多其他方法，比如，第三个可以令 x=tant 换元，在此不详述。

　　分式积分是一类较难处理的积分，尤其是无理函数分式积分，下面列举多种方法。

　　值得一提的是，本题亦可令 t=\frac{x}{\sqrt[4]{1+x^{4}}} ，请读者尝试,关于切比雪夫定理，可参见如下文章

　　法一：先进行分析，分母部分由两部分组成。 x^{2}-x+2与\sqrt{x^{2}+x+1} ，这两部分不容易同时换元成为简单的部分，所以，考虑消去 x^{2}-x+2 。当然，消去另外一部分也可以做。

　　上面某一道题并不限定用某种方法，只要接出来即可，甚至可以不以欧拉替换法，因为过程显得繁琐，并且使用这种方法要熟练掌握有理分式分解。

　　当然，求导法则多种多样，所以原函数设法也多种多样。不过对于部分复杂函数，此方法并不容易求出原函数，或是原函数并不好设。

　　此积分较难处理，按照上诉思路，观察分母，将其分解为两项相乘，进而分解配凑。为了因式分解，所以对三角函数进行升幂。

　　积分形式怪，分部试一试. 对于部分形式比较奇怪的积分，分部积分法是可以尝试的。

　　第一次写此题很可能找不对方向，使得题目变得复杂。法二和4.10法二类似。

　　此题难度较大，十分考验读者的积分能力。方法二用微分方程法求解不定积分，读者需要注意。

　　此方法对于求解某些形式的三角函数，指数函数，双曲函数的积分很方便。适用于可以互导或者自导的函数，常常要找与之配对的函数。前面例题也多次使用此方法。

　　(1)分段积分法:分段积分得到各区间段的不定积分，由原函数的连续性确定各区间段积分常数的关系，最后保留一个积分常数。

　　(3)若分段点x是f(x)的第一类的间断点，则在包含x的区间上f(x)不存在原函数。

　　对于 x^{n}e^{\lambda x} ，分别与 cosax,sinbx 的乘积及其线性组合称为幂三指函数，幂三指函数的求导与积分运算也有封闭性

　　至此，不定积分的求解到此告一段落。不定积分并不是只有上面的方法，还有微分积分法，倍角法，微分方程法，算子法等等。但是，并不是要掌握所有的方法才行，正所谓：“他强任他强， 清风拂山岗”。做到无招胜有招，方法可以不用掌握太多，只要遇到题能求出来即可。