《好看的数学故事：几何与代数卷》：讲述人类智慧不断发展的故事

　　把数字看成一堆堆的石头，这个想法听上去或许有点古怪，其实它跟数学一样古老。英文“计算” （calculate）这个词来自拉丁文calculus，其本义就是一堆用来计数的鹅卵石。要享受使用数字带来的快乐，你不必非得是爱因斯坦（Einstein在德文里的意思是一块石头），但如果你脑袋里有一堆石头的话，还是有帮助的。

　　本书带您回到远古、中古、近代，为您讲述几何与代数画卷中的一个个小故事，认识故事中的主角：他们出现在从远古到十八世纪的历史长卷里，有着各异的背景、身份和个性；他们生活在世界上不同种族集居的地区，生存的环境大多很恶劣——或战火弥漫，或疾病蔓延，或陷于阴谋处于动乱，数千年的历史进程，和平只是难得的瞬间……他们历尽磨难，但执着地思考、探索、追寻。他们中间，虽然有罕见的天才，但很多并非专业的数学家，更多的，甚至连名字也没有留下来。正是他们一砖一石、一代又一代的努力，为现代数学这座精美富丽的殿堂搭建起坚实的地基！

　　王雁斌，1982年，毕业于北京大学地球物理系；1985年，进入美国纽约州立大学石溪分校深造；1991年，获得地球物理博士学位；现任芝加哥大学研究教授。已出版的科普作品有《数学现场：另类世界史》《好看的数学故事：概率与统计卷》。

　　人类在数学上的第一个抽象概念的飞跃，大概就是从这里开始的。数的标志可以是刻痕，也可以是其他什么办法，比如在绳子上打一个结。中国古代书籍里记载说，上古时代人们“结绳记事”。出了一件大事情，就结一个大疙瘩；出了小事情，结个小疙瘩。后来改用竹片或木片，在上面刻画痕迹，串起来保存，叫作“书契”。古代的印加人也采用结绳记事的方法。他们使用一种名叫“奇普”(Quipu)的计数工具，用许多不同颜色的绳结编成，不同的绳结有不同的含义。这个方法在16至17世纪西方人侵入美洲之前还在使用。其中计数的方法见下图。由于美洲文明和东亚文明有蛛丝马迹的联系，奇普跟中国古代结绳记事的渊源是一个颇令人遐想的问题。

　　用得最广泛的数字概念最先有了对应的语言表达。至今在南美亚马孙河流域的土著语言里，数字“2”的语言表达是“眼睛那样的”，因为眼睛总是成对出现。“5”和“手”这个词通用，其中的理由不言自明。世界上有些地方的土著人，今天仍然把大于3的数量说成是“一群”或者“一堆”，很可能是因为日常生活中没有太多必要来区分它们。澳大利亚昆士兰州立图书馆收集了70多种当地土著部落语言中的数字，那里的人们长期以来只有1到5的数值概念和1、2、3这三个数字。他们把“4”叫作“2和2”,把“5”叫作“2和3”，5以上就统称为“多”。通过这些对土著人群的观察，我们可以大致猜想在人类的进化过程中数的概念是怎样慢慢发展起来的。而在著名的荷马史诗《奥德赛》里面，跟“数”这个动词对应的古希腊语的词根来自数字“五”，其原意是一“五”一“五”地数数，很像中国人用“正”字来计数。后来这个古希腊字就直接用来表示数数。

　　广袤的美索不达米亚平原是苏美尔人的聚居地，公元前40世纪末期他们已经有了成熟的文字——楔形文字。大约在公元前2000年，亚摩利人来到了美索不达米亚平原，打败了当地的苏美尔人，在幼发拉底河边建立了人类第一个帝国，名叫阿卡德。200年后，这个帝国分裂成两部分，北面的亚述和南面的巴比伦。

　　汉谟拉比(Hammurabi,约公元前1810年一公元前1750年)是古巴比伦王国第六任国王。他击败了周边的城邦国家，把统治区域扩展到整个两河流域，成为巴比伦尼亚帝国的第一任国王。他制定的《汉谟拉比法典》被誉为古代第一部成文的法典。他大兴土木，修建了著名的巴比伦城，这座名城的遗址在今天伊拉克首都巴格达南边大约85公里的地方。伟大的巴比伦城让当时美索不达米亚平原上苏美尔人的最重要的“众神之城”尼普尔(Nippur;在今天伊拉克首都巴格达东南160公里)黯然失色。

　　古巴比伦人继续采用苏美尔的楔形文字。这种文字从最初的象形文字系统，通过字形结构的逐渐简化和抽象化，一直使用到新巴比伦时期(公元前625年一公元前539年)，逐渐演变为音节文字。苏美尔的数字系统把10进位制和60进位制混合起来使用。比如数字600，苏美尔人计数的方式称之为10个60。古巴比伦人继承了苏美尔人数字符号的词库，发展出一个有趣的纯粹60进位制的数字体系。仔细看看下图,你会发现古巴比伦的60进位数字系统在符号使用上非常简单，真正不同的符号只有两个：1和10。他们的数字1，是用芦苇秆制成的“笔”在泥板上按一下压出的痕迹。1字符顶端的三角形其实就是笔尖处的深坑。从2到9，只是简单地把1字符重复2到9次，所以9是三排三列的1。数字10应该是用芦苇笔斜着按两下，互相成一个角度，两笔的笔尖按在同一个地方。这个数字系统隐含了10进位，因为11到19的符号就是10加上1到9；符号20是两个10相加。50到59是五个10再加上1到9。这可能是继承了苏美尔人计数符号的结果。

　　公元前16世纪，卡西特人从波斯湾东岸的扎格罗斯山脉进入两河流域，攻占巴比伦，建立卡西特王朝。几代人过去，他们开始为星辰建立目录。早在公元前12世纪，巴比伦的星辰目录就记载了36颗恒星或星座。星座这个名字在楔形文字里形象地用三颗星叠在一起的符号来表示，其发音对应后来的罗马化字符是MUL。当时的人们已经把一年分成12个月，而且每个月找到三个星座与之对应。公元前10世纪，这里出现了星表(MUL.APIN)，其中包含66颗星或星座。这些天文观测结果对古埃及和古希腊的影响极为深远，一些星座的名称一直流传至今，比如金牛座、天狮座、天蝎座、摩羯座等。

　　夜空中繁星无数，而要准确地追踪和描述每一个天体的位置，必须使用几何学与三角学。所以几何学与三角学发展的动力，在很大程度上来自人们对了解天之奥秘的渴望。

　　古人在晴朗的夜晚观察星空，感觉星空好像是半个圆球，扣在大地上面。当观察从深夜进入凌晨，他们发现天体（无论是太阳、月亮还是其他行星或恒星）一直相对自己在慢慢移动。连续几夜不断地观察，在第二晚的同一个时刻，这些天体差不多正好回到头一夜的位置。他们觉得这些天体似乎是在一个巨大的球面上缓缓转动。虽然人们只能看到地平面以上的半球状的天空，但因为天体在清晨从东方的地平面以下升起来，又在傍晚于西方的地平面落下去，很容易得出推论，天体的运行是在一个完整的球面上。

　　人们给这个如此推断出来的球面取了一个名字，叫作天球。太阳是最明亮的天体，它在天球上的移动产生了白天和黑夜。太阳正当空时，明亮的阳光使人们看不到其他天体；而当太阳转到地平线以下，这些天体就在夜幕中展现出来。天球在观察者所处大地水平面垂直上方的点称为天顶(zenith)。通过天顶在天球上作一个大圆，使大圆弧落在地平面正南正北的方向上，这是观察者位置上的子午线(meridian)。太阳落在子午线上时是它在一天当中位置最高的时刻，这是观察者当地的正午。所谓“大圆”是半径等于天球半径的圆——这是天球上能作出的最大的圆；任何一个大圆都把天球分成相等的两个半球。

　　在古希腊，天文学研究的基本思想发生了革命性的改变。柏拉图主张，真正的天文学应使用数学来研究天空中真实星体的运动定律。他向希腊时期的天文学家提出挑战：“应该假定行星做什么样的等速且规律的圆周运动，才能解释这些星球被观察得到的运动？”

　　这句问话在当时可以说是振聋发聩。从此，天文学从古巴比伦、古埃及的以计算、预测为宗旨转变为以几何构造、解释运行规律为宗旨，直到20世纪。柏拉图身后2000多年，美国著名理论物理学家费曼（Richard Feynman，1918年—1988年）在他的加州理工学院办公室的黑板左上角用粉笔写了一句非常著名的话：What I cannot create I do not understand.

　　数千上万年来，数与形的问题在生活中层出不穷。人们不断地探索思考，于是就有了几何学与代数学。

　　这本书不是教科书。这里要讲的，是把几何学与代数学不断推向更新深度的那些人的故事。这是一群不同寻常的人。无论遇到什么样的困境，饥饿、贫穷、疾病和战争，也无论遇到什么样的诱惑，钱财、地位、酒色和享乐，他们总在不屈不挠地思索和钻研。他们当中，有些人这么做是因为管理职务的要求，但更多的人在几何学与代数学中发现了一种特殊的美和奇妙感。这种美丽和奇妙使他们终其一生在数与形的思考中废寝忘食，如醉如痴。

　　全书分为上中下三篇，分别讲述了古典概率的故事、统计概率的故事和近代科学概率的故事。从流传数千年的投币和骰子游戏到古老的八卦，从古印度《吠陀经》的韵律到希伯来字母排列的神秘咒语，古人们逐渐发现了排列与组合的基本规律。起初的概率，多半应用在赌博游戏上，不仅是投币和骰子，还有纸牌、赛马等等。这些东西在学术领域似乎不值一提，但古典概率理论一旦出现，立即在社会各个领域发现重要的应用价值。统计学随之而生。通过字母分析破译密码，通过死亡记录探究传染病的危害，新生婴儿的性别比例，居民寿命的期望值和保险年金，统计学在人类社会从古典结构进入现代结构的发展过程中发挥了极其重要的作用。天文学、实验物理学和数学的发展推动了概率统计理论的公理化、定量化。误差分析被系统化、理论化；最小二乘法成为科学数据分析的重要手段。统计理论与微积分的发展使得流行病传染模型得以建立。达尔文的演化论和孟德尔的遗传学展示了物种演化的奥妙，为了探究本因，一系列的统计学方法陆续出现。但并非所有的数据分析理论都是有深奥庄严的理由，有时候酿制啤酒也会产生新的统计理论。有心人总会有收获。概率统计理论在世界大战当中拯救了数千万人的生命。如今它深入人工智能，开始挑战人类的智慧了。在这数千年的发展史中，研发概率统计理论的人们有着各种各样的故事。